纸牌概率小测

这套题目的答案没有一条是查来的,全部是当场组合数算出来的。以「发 5 张牌正好一对」为例:

C(13,1) × C(4,1) × C(12,3) × 4³ ÷ C(52,5) = 1098240 ÷ 2598960 ≈ 42.3%

分子是「全部 5 张牌」的组合数,C(52,5) = 2598960;分母那四项分别对应:选哪个点数出现对子、这个点数上取哪两张(4 种花色)、再从剩下 12 个点数里取 3 个各不相同的点数、这 3 张各自的 4 种花色。所有题目都用同一套口径:C(52,5) 作为样本空间,五张牌的组合数是 2598960,这个数字在整套题库里出现十几次,建议记牢。

把七种牌型的组合数列全,还能看到另一件事:

• 高牌 1322592(50.1%)、一对 1098240(42.3%)、两对 123552(4.8%)、三条 54912(2.1%)、四条 624(0.024%)、同花顺 40(0.0015%)。
• 把高牌与一对加起来是 91.4%,也就是说 5 张牌里出现「不是散点也不是普通一对」的结构只有 8.6% 的可能。
• 四条与同花顺合计 664 种,占 0.026%,约每 3900 手牌才遇到一次。

这些数字也是本页所有「解析」的内容:看懂一次推导,胜过背十个结论。

四选一、每题 25% 命中,如果你完全不懂只是蒙,答对 k 题的概率就是一个二项分布:

P(X = k) = C(n, k) × 0.25^k × 0.75^(n − k)

代入 n = 10,可以算出随机作答的完整分布:P(0) = 5.6%、P(1) = 18.7%、P(2) = 28.1%、P(3) = 25.1%、P(4) = 14.5%、P(5) = 5.5%、P(6) = 1.4%……由此得到三条常用标线:

• 期望答对 2.5 题(即 10 × 0.25),这是随机作答的平均分,也是分数的及格线。
• 答对 4 题及以上的概率是 22.4%,也就是说五个人里有四个多能蒙到这个分数,低于这条线没有任何信息量。
• 答对 6 题及以上的概率只剩 2.0%,越过这条线才说明你确实算对了大部分题目。

工具里的「击败随机作答」这一栏用的就是同一个分布:把你答对的题数 k 代进去,算出 P(X < k),也就是你的分数超过随机作答者的比例。答对 6 题时这一栏会显示 98.0%,答对 4 题只显示 50.3%,两个数字看起来差别不大,含义却完全不同。

抽题不是每次刷新都换一套,而是由「种子」决定:工具用一个线性同余发生器把种子变成 0 到 1 之间的伪随机序列,再用 Fisher-Yates 洗牌把 16 道题的顺序打乱,最后按难度筛选并取前 n 题。同一个种子永远得到同一套题,这是刻意设计的:一周后重考时,你要比较的是同一套题下的分数变化,而不是两套难度不同的题。

具体的算法是 x ← (x × 16807) mod 2147483647,每取一个数就更新一次 x。这个发生器的周期很长、分布均匀,而且完全由种子决定,不依赖浏览器的随机数接口,所以在任何设备上同一个种子抽到的题都是一样的。

用法上有三个建议:一是先做「全部」难度,看看自己在哪一档题上开始错;二是把答错的题抄下来,三天后用同一个种子重考一遍;三是把「随机答对 4 题以上 22.4%」这条线记住——只要你的分数低于它,这一轮就等于没有区分度,不要用它来判断自己进步了。