桥牌双明手 损失估算

双明手分析的难点不在于「这手牌大概能做几墩」,而在于「就算牌型一样,发牌顺序一变,成墩数就会上下浮动」。所以第一步先算期望值 μ,再单独处理波动。页面里用的公式是:

μ = 4.0 + 0.30 × (HCP − 10) + 牌型值 + 将牌加成 + 明手缺门加成

「牌型值」按每门张数累加:缺门 −0.60、单张 −0.30、双张 0.00、三张 +0.40、四张 +0.45、五张 +0.30、六张 +0.20。为什么要给四张副牌比三张更高的分?因为三张副牌通常有 1 张能赢、四张副牌通常要丢 1 墩,真正值钱的是双张:它不丢墩,还能提供将牌提升。「将牌加成」按定约方手里的将牌张数给:1 张 −0.30、2 张 +0.60、3 张 +0.90、4 张 +1.20、5 张 +1.60、6 张及以上 +1.90。「明手缺门加成」是:定约方有 2 张以上将牌时,明手每有一个副牌缺门就 +0.30 墩。

代入默认例子(4♥,定约方 ♠4♥3♦3♣3 共 13 点,明手 ♠4♥4♦3♣2):

μ = 4.0 + 0.30 × 3 + (0.45 + 0.40 + 0.40 + 0.40) + 0.90 + 0 = 7.45 墩

注意最后一项是 0:明手 4432 没有缺门,自然没有帕斯加成。如果明手改成 4433 之外的任何缺门形状,这一栏才会动。

有了期望值还不够,得有分布。桥牌里成墩数的波动主要来自某门花色的一次失手,量级在 1 墩上下,所以用一个正态形状去近似是合理的,标准差按手牌的「脆弱度」调整:

σ = 1.05 + 0.12 × 单张门数 + 0.15 × 缺门数 + 0.05 × 双张门数 − 0.06 × (将牌张数 − 4)

缺门和单张会让结果两极分化(可能全对也可能全错),双张通常稳稳当当;将牌超过 4 张则更可控,方差略降。得到每个整数墩数的概率用带连续性校正的正态公式:

P(T = t) = Φ((t + 0.5 − μ) / σ) − Φ((t − 0.5 − μ) / σ)

以默认参数 μ = 7.45、σ = 1.05 手算三格:

• P(7 墩) = Φ(0.0476) − Φ(−0.9048) = 0.5190 − 0.1828 = 0.3362
• P(8 墩) = Φ(1.0000) − Φ(0.0476) = 0.8413 − 0.5190 = 0.3224
• P(6 墩) = Φ(−0.9048) − Φ(−1.8571) = 0.1828 − 0.0316 = 0.1512

4♥ 需要 7 墩,把 t ≥ 7 的概率加起来得 0.8172,也就是做成概率 81.7%;差一墩 15.1%,差两墩 2.9%,差三墩以上 0.2%。剩下的 0.2% 分布在 0 到 4 墩,量级很小但不是零——这正是「定约会失手」这件事的真实形状。

概率只回答「会不会成」,分数回答「成与不成各值多少」。重复赛制里成局得分是 300 + 50 × (级别 − 4) + 将牌花色分(黑桃红桃各 50 分,方块梅花各 30 分,无将 0 分);4♥ 刚好做成是 300 + 50 = 350 分。未成局(1 到 3 级)得分是 50 + 50 × 将牌花色分,加倍再加 25 分、再加倍再加 50 分。多做一墩按 20 分算,加倍后每超一墩 100 分,再加倍 200 分。少一墩则相反:未加倍每墩 −50 分;加倍后是 −100、−200、−200、−300、−300……;再加倍全部翻倍。

期望得分就是把这个分布和分数表相乘再求和:

E(分数) = Σ P(T = t) × score(t)

默认那手牌逐项展开是 0.3362×350 + 0.3224×370 + 0.1332×390 + 0.0236×410 + 0.1512×(−50) + 0.0292×(−100) + … ≈ 288.5 分。同一手牌在换成 3NT 之后 μ 掉到 6.55,要求降到 6 墩,期望得分会明显缩水;换成 5♥ 则要求升到 8 墩,μ 只升到 8.0 出头,期望得分立刻变成负数。这三档之间的落差,才是叫牌时该算的账。